วันพฤหัสบดีที่ 5 กันยายน พ.ศ. 2556

เศษส่วน

1. ความหมายของเศษส่วน

1.1 เศษส่วนหมายถึง ส่วนหนึ่งๆ ของจำนวนทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน เช่นแบ่งแตงโม 1 ผล ออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน แตงโม 1 ซีก หมายถึง 1 ใน 4 ของแตงโมทั้งหมด เขียนแทนด้วย 1/4

1.2 เศษส่วนหมายถึง ส่วนต่าง ๆ ของเซตที่ถูกแบ่งออกเป็นเซตย่อยที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน เช่น เด็กชาย 2 คน คิดเป็น 2/6 = 1/3 ของจำนวนเด็กชาย 6 คน

1.3 เศษส่วนหมายถึง การเขียนเลขในรูปของผลหาร โดยมีเศษเป็นตัวตั้งและส่วนเป็นตัวหาร เช่น แบ่งเด็ก 6 คน ออกเป็น 3 กลุ่ม จะได้กลุ่มละกี่คน เขียนแทนด้วย 6/3 = 2 คน

2. การใช้สัญลักษณ์แทนเศษส่วน

ส่วนหมายถึง จำนวนทั้งหมดแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆกัน

เศษหมายถึง จำนวนที่ต้องการจากจำนวนที่แบ่งเป็นส่วนๆ

3. วิธีเขียนและอ่านเศษส่วน

1 ใน 2 เขียน ½ อ่านว่า เศษหนึ่งส่วนสอง

5 ใน 9 เขียน 5/9 อ่านว่า เศษห้าส่วนเก้า

ชนิดของเศษส่วน เศษส่วนแบ่งออกเป็น 4 ชนิด

1. เศษส่วนแท้ คือ เศษส่วนที่มีค่าน้อยกว่า 1 หรือตัวเศษมีค่าน้อยกว่าส่วน เช่น 3/4 , 9/10 เป็นต้น

2. เศษส่วนเกิน คือ เศษส่วนที่มีค่ามากกว่า 1 หรือตัวเศษมีค่ามากกว่าส่วน เช่น 3/2 , 10/9 เป็นต้น

3. เศษส่วนคละ คือ เศษส่วนที่มีจำนวนเต็มและเศษส่วนแท้คละกัน

4. เศษซ้อน คือ เศษส่วนที่เศษหรือส่วนเป็นเศษส่วน หรือทั้งเศษส่วนเป็นเศษส่วน

การเขียนเศษเกิน

การเขียนเศษเกินในรูปจำนวนคละอาจทำได้โดยการนำตัวส่วนไปหารตัวเศษผลหารที่ได้จะเป็นจำนวนนับ เศษที่เหลือเป็นตัวเศษโดยมีตัวส่วนคงเดิม

2. การเขียนจำนวนคละในรูปเศษเกิน

การเขียนจำนวนคละในรูปเศษเกินอาจทำได้โดยนำตัวส่วนไปคูณจำนวนนับแล้วบวกกับตัวเศษ ตัวส่วนคงเดิม

อ้างอิง http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/16650-00/

การแทนพิกัดและรูปตัดกรวย

การแทนพิกัดและรูปตัดกรวย

จากความพยายามที่หาหนทางนำเอาคณิตศาสตร์มาแทนรูปทรงเรขาคณิต โดยเริ่มจากในระนาบ จึงมีการกำหนดระนาบเป็นแกนสมมุติ x, y ซึ่งแทนระนาบใด ๆ

เมื่อจุดอยู่บนระนาบจึงแทนด้วยคู่ลำดับ เช่น จุด 3 , 3 และทางเดินของจุดก่อให้เกิดเป็นเส้น เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดบนระนาบ จึงเขียนแทนด้วยสมการทางเดินของจุด เช่น 2x + 2y = 4 เขียนเส้นทางเดินของเส้นตรงนี้ได้

ถ้าเขียนรูปวงกลมลงบนระนาบ โดยอาศัยแกนพิกัดฉาก และให้จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่คู่ลำดับ x , y เป็น 0 , 0 ดังรูป
ทางเดินของจุด P(x,y) เมื่อให้ระยะรัศมี r คงที่เสมอจะได้เส้นส่วนโค้งของวงกลม จากสมการของพีธากอรัสทำให้เราได้

OP²= OQ² + OP²

หรือเขียนได้เป็น

x² + y²= r²

             ซึ่งก็หมายถึงการแทนวงกลมลงบนระนาบที่มีรัศมี r และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) เราเขียนสมการทางเดินของจุดได้

             ยามค่ำคืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สุกสว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และหากสังเกตต่อเนื่องไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผ่านกลุ่มดาวฤกษ์
             ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของดาวเคราะห์ต่าง ๆ และโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี ในยุคแรกคอเปอร์นิคัส (corpernicus) เสนอทฤษฎีการโคจรของดาวเคราะห์เป็นรูปวงกลม แต่ต่อมาพบว่าไม่ถูกต้อง ในปี 1600 เคปเลอร์ (Kepler) ได้เริ่มศึกษารายละเอียดการโคจรของดาวเคราะห์ เคปเลอร์ได้ทำการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งดาวอังคารบนฟากฟ้า จนในปี 1609 ก็สามารถพิสูจน์ให้เห็นว่า ดาวอังคารเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี หลังจากนั้นก็พิสูจน์ได้ว่าดวงจันทร์ และดาวบริวารต่าง ๆ หมุนเป็นรูปวงรี
วงรีบนระนาบ

วงรี เป็นเส้นโค้งที่มีลักษณะใกล้เคียงกับวงกลม แต่มีจุดคงที่สองจุดเรียกว่า จุดโฟกัส เส้นโค้งที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของจุด ซึ่งลากมาจากจุดโฟกัสจะทำให้ผลบวกของเส้นทั้งสองนี้คงที่เสมอ

ผลบวกของ F'P + FP มีค่าคงที่เสมอ เมื่อ P เคลื่อนที่ไปบนเส้นโค้ง หากลากเส้นผ่านระหว่างโฟกัสทั้งสอง จะตัดวงรีที่ A และ A' ความยาวนี้มีค่าเท่ากับ 2a เรียก แกนยาวของวงรี และเส้นที่ลากผ่านจุด C ไปตามแกน Y พบกับส่วนโค้งวงรีที่ B และ B' ซึ่งมีความยาว 2b เรียกว่า แกนสั้นของวงรี สมการของรูปวงรีเมื่อเขียนในรูปสมการจะได้

เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผิวโค้ง เพื่อรับสัญญาณที่ส่งตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จุดรับสัญญาณ เพื่อให้มีสัญญาณที่แรงขึ้น
หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสงเพื่อรวมลำแสงให้พุ่งเป็นลำตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุมสะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนี้เรียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทำให้มุมตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา สมการของเส้นโค้งพาราโบลาเขียนได้ดังนี้

y = Ax²

             และถ้ามีจุดคงที่หรือจุดโฟกัสสองจุดเช่นเดียวกับวงรี ถ้าให้จุด ๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไป โดยกำหนดให้ผลต่างระหว่างจุดที่เคลื่อนที่และจุดคงที่ทั้งสองมีค่าคงที่ เราจะได้เส้นโค้งที่เรียกว่า ไฮเปอร์โบลา และจะมีเส้นโค้งนี้สองเส้นที่ไม่ต่อกัน

จากรูป ผลต่างของ P F' กับ P F มีค่าคงที่             การศึกษาเส้นทางเดินของจุด ทำให้เคปเลอร์ทราบวิถีการโคจรของดาวเคราะห์ และต่อมานิวตันเข้าใจถึงหลักการของแรงโน้มถ่วง และทราบถึงผลของการเคลื่อนที่ที่มีต่อแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้ฮัลเลย์ซึ่งเป็นนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงโด่งดังก็สามารถใช้หลักการ การเคลื่อนที่เป็นรูปวงรี และพาราโบลา และแรงโน้มถ่วงของดวงดาวต่าง ๆ ทำให้อธิบายปรากฎการณ์การเดินทางของดาวหาง และสามารถทำนายดาวหางว่าจะกลับมาให้เห็นอีกครั้งเมื่อไร

            การศึกษา เส้นโค้งที่กล่าวมาแล้วคือ วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา มีมานานแล้ว ตั้งแต่ยุคสมัยอียิปต์โบราณ ทั้งนี้เส้นโค้งเหล่านี้เกิดจากการตัดรูปกรวยที่มีฐานเป็นวงกลมด้วยพื้นราบในลักษณะต่าง ๆ
            ถ้าตัดด้านพื้นราบขนานกับฐาน ก็จะได้วงกลม ถ้าติดเอียงทำมุมก็จะได้รูปวงรี เมื่อพื้นราบเอียงจนขนานกับเส้นที่ลากจากยอดมาฐาน ก็จะได้รูปพาลาโบลา ถ้าใช้กรวยสองกรวยต่อจุดยอดกัน แล้วติดพื้นราบซึ่งตั้งฉากกับฐานกรวยจะได้รูปไฮเปอร์โบลา

พื้นราบตัดรูปกรวยแบบต่าง ๆ

เมื่อนำพื้นราบตัดรูปกรวยจะได้เส้นโค้งแบบต่าง ๆ เส้นโค้งและผิวโค้งทางคณิตศาสตร์ยังมีอีกมาก และเป็นศาสตร์ที่สามารถนำมาใช้ในการออกแบบผลิตภัณฑ์ต่าง ๆ ได้มากมาย ลองค้นหาจากเอกสารต่าง ๆ ดูว่า เส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเหล่านี้มีลักษณะอย่างไร cycloid, cardioid Ephicycloid Hypocycloid spiral ฯลฯ
ประโยชน์ของเส้นโค้งหรือผิวโค้งจึงมีมากมายและเกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันอย่างมาก เช่น ขณะขับรถไปในท้องถนน ถ้าวิศวกรออกแบบถนนให้มีส่วนโค้งของผิวถนนขณะขึ้นสะพาน และลงระนาบพอดี ผู้ขับขี่ยวดยานจะไม่รู้สึกกระเพื่อม

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
อ้างอิง : http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/math_cone.htm

คณิตศาสตร์กับเวลา

คณิตศาสตร์กับเวลา หลายคนคงนั่งคิดจินตนาการว่า กาลเวลาคืออะไร ทำไมเราจึงแบ่งช่วงเวลาของเราออกเป็นวินาที นาที ชั่วโมง วัน เดือน ปี ระบบแห่งกาลเวลาที่ใช้กันในอดีตแต่ละท้องที่แตกต่างกัน ต่อมาปรับเปลี่ยนเข้าสู่ระบบสากลเพื่อความเข้าใจที่ตรงกัน เช่นปีใหม่ของไทยแต่โบราณใช้วันสงกรานต์ เป็นการบ่งบอกวันเริ่มต้นปีใหม่ ของจีนใช้วันตรุษจีน ปีใหม่สากลใช้วันที่ 1 มกราคม เป็นต้น

ความจริงแล้วกาลเวลาเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยตรง จากที่กล่าวแล้วที่ชาวบาบิโลเนียได้แบ่งหน่วยตัวเลขในระบบฐานหกสิบ และรู้จักกับการแบ่งเวลาในฐานหกสิบมากกว่าสองพันปีแล้ว เราแบ่งเวลาเป็นวินาที หกสิบวินาทีเป็นหนึ่งนาที หกสิบนาทีเป็นหนึ่งชั่วโมง และให้ยี่สิบสี่ชั่วโมงเป็นหนึ่งวัน
มนุษย์เกี่ยวข้องกับเวลามาตั้งแต่พัฒนาการเริ่มแรกของชีวิตโลก เป็นส่วนหนึ่งของระบบสุริยะจักรวาล มีพัฒนาการมาหลายพันล้านปี กาลเวลาจึงสัมพันธ์กับชีวิตความเป็นอยู่ กาลเวลาสัมพันธ์กับธรรมชาติ มนุษย์สังเกตเห็นพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกในตอนเช้า และตกทางทิศตะวันตกในตอนเย็น เห็นดวงจันทร์ขึ้นและตกเช่นเดียวกัน แต่ปรากฏการณ์ของดวงจันทร์แตกต่างจากดวงอาทิตย์ คือ แต่ละวันขึ้นและตก แตกต่างเวลาออกไปเมื่อเทียบกับดาวอาทิตย์ และยังมีปรากฏการณ์แบ่งเป็นข้างขึ้นและข้างแรมดังที่เราเห็นอยู่ ชีวิตความเป็นอยู่จึงสัมพันธ์กับธรรมชาติ บนท้องฟ้าในเวลากลางคืนมีดาวเต็มท้องฟ้า ดาวที่เห็นมีทั้งดาวเคราะห์และดาวฤกษ์ มนุษย์รู้จักแยกแยะดาวเคราะห์และดาวกฤษ์ โดยเห็นดาวเคราะห์ที่ปรากฎเด่นชัดตั้งแต่หลายพันปีแล้ว ซึ่งได้แก่ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัส ดาวเสาร์ และเมื่อรวมกับดวงอาทิตย์ และดวงจันทร์ จึงแบ่งสัปดาห์เป็นเจ็ดวัน และใช้ชื่อดาวที่รู้จักเป็นวันประจำสัปดาห์

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
อ้างอิง : http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/math_time.htm

สับเซตและเพาเวอร์เซต

สับเซตและเพาเวอร์เซต

• สับเซต
บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B

ตัวอย่างที่ 1 A = {1, 2, 3}
B = { 1, 2, 3, 4, 5}
∴ A ⊂ B
ตัวอย่างที่ 2 C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,…}
D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {…,-3,-1,1,3,…}
∴ C D
ตัวอย่างที่ 3 E = { 0,1,2 }
F = { 2,1,0 }
∴ E ⊂ F และ F ⊂ E
จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F
สับเซตแท้ เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
จำนวนสับเซต ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n – 1 เซต

• เพาเวอร์เซต
บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)

ตัวอย่างที่ 1 A = Ø
สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø
∴ P(A) = {Ø }
ตัวอย่างที่ 2 B = {1}
สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}
∴ P(B) = {Ø, {1} }
ตัวอย่างที่ 3 C = {1,2}
สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}
∴ P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ

หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก

สมาชิกในกลุ่มว่า “สมาชิกของเซต”

• การเขียนเซต
การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ
1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { a, e, i, o, u}
C = {…,-2,-1,0,1,2,…}
2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
ตัวอย่างเช่น A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้

I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ
Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
I แทนเซตของจำนวนเต็ม Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
N แทนเซตของจำนวนนับ

R แทนเซตของจำนวนจริง

• เซตจำกัด
บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้
ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก
B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก

• เซตอนันต์
เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
ตัวอย่างเช่่น C = {…,-2,-1,0,1,2,…}

• เซตที่เท่ากัน
เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B
ตัวอย่างเช่่น A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
∴ A = B

• เซตว่าง
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø
ตัวอย่างเช่่น A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} ∴ A = Ø
B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ ฺB = Ø

เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

• เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u
ตัวอย่างเช่่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
U = {…,-2,-1,0,1,2,…}
หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

อ้างอิง : http://nimit444.wordpress.com/2011/12/06/%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8B%E0%B8%95/

จำนวนฟีโบนัชชี(fibonacci)

มารู้จักกับ จำนวนฟีโบนัชชี(fibonacci)

ว่ามันคืออะไร

จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขฟีโบนัชชี (Fibonacci number) คือลำดับของจำนวนเต็ม
โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า
และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับฟีโบนัชชี

ตัวอย่างลำดับเลขฟีโบนัชชี
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584
4181 6765 10946 17711 ...

เลขฟีโบนักชีสามารถเขียนเป็นอนุกรมได้ดังนี้คือ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, x, y, x+y, …

(ตัวเลขตำแหน่งที่ n เท่ากับตัวเลขตำแหน่งที่ n-1
บวกกับตัวเลขตำแหน่งที่ n-2 หรือ X_n = X_n-1 + X_n-2)

เลขฟีโบนัชชี (Fibonacci numbers) ถูกค้นพบโดย เลโอนาร์โด ฟีโบนักชี (Leonardo Fibonacci) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียน หรือชื่อเดิมคือ เลโอนาร์โด ดาปิซา (Leonardo daPisa) เนื่องจากเขาเป็นบุตรของพนักงานศุลกากร จึงทำให้คุ้นเคยกับระบบเลขฐานสิบ แบบฮินดู-อารบิกเป็นอย่างดี

ฟีโบนักชีได้พาเราเข้าสู่รหัสลับของธรรมชาติผ่านอนุกรมตัวเลขที่เขาคิดค้นขึ้น จากการสังเกตและศึกษาแง่มุมต่างๆ ทางธรรมชาติเช่น รูปแบบของการเกิดฟ้าแลบ รูปแบบการขยายพันธุ์และการจัดเรียงทางกายภาพของพืชและสัตว์ ฯลฯ ฟีโบนักชีได้พบว่า ธรรมชาติเหล่านี้มีรูปแบบที่ค่อนข้างเสถียร สามารถนำมาแสดงเป็นลำดับเลขคือ 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89… ซึ่งมีวิธีจัดเรียงลำดับจากการนำตัวเลขที่อยู่สองตัวข้างหน้ามาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลขถัดไป เช่น 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8

ทว่า สิ่งที่ทำให้เราต้องพิศวงยิ่งไปกว่านั้นคือ ลำดับฟีโบนักชีตั้งแต่ตัวเลขค่าที่สี่เป็นต้นไป มีอัตราส่วนจากการหารตัวเลขลำดับหลังด้วยตัวเลขลำดับหน้า เช่น 5 หารด้วย 3, 8 หารด้วย 5, 13 หารด้วย8, 21 หารด้วย 13 ได้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงเลข 1.618 และเมื่อตัวเลขเพิ่มขึ้น ผลลัพธ์ที่ได้จะยิ่งใกล้เคียง 1.618 เป็นลำดับ ปราชญ์ในอดีตจึงเรียกชื่อตัวเลข 1.618 นี้เป็นภาษากรีกโบราณว่า “ฟี” (Phi) หรือ“อัตราส่วนทองคำ” (Golden ratio) และถือเป็นสัดส่วนที่ธรรมชาติได้บรรจงสร้างไว้อย่างมหัศจรรย์

การปรากฏของลำดับฟีโบนักชีในธรรมชาติมีตัวอย่างมากมายได้แก่ การจัดเรียงเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรด ตาลูกสน รวมถึงเกลียวโค้งของหอยนอติลุส ต่างก็มีอัตราส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางของแต่ละวงเทียบกับวงถัดไปเท่ากับค่า Phi ทั้งสิ้น หากอยากพิสูจน์ว่าแต่ละวงจัดเรียงตามลำดับฟีโบนักชีจริงหรือไม่ ให้นำ 1.618 คูณหรือหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงนั้นๆ ก็จะสามารถทราบค่าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงถัดไปได้โดยไม่ยาก

เมล็ดของดอกทานตะวัน ในวงที่มีเกลียวการหมุนตามเข็มนาฬิกา มีจำนวนทั้งสิ้น 55 เมล็ด (เครื่องหมายสีแดง) ในขณะที่วงที่มีเกลียว การหมุนทวนเข็มนาฬิกา มีจำนวนทั้งสิ้น 89 เมล็ด (เครื่องหมายสีเขียว)

ต้นตะบองเพชรที่มีลักษณะการจัดเรียงตัวของปุ่มหนามสอดคล้องกับเลขฟีโบนักชี โดยมีวงเกลียวของปุ่มหนามที่หมุนตามเข็มนาฬิกา 3 วง (เส้นสีแดง) และมีวงเกลียวที่หมุนทวนเข็มนาฬิกาจำนวน 5 วง (เส้นสีเหลือง) โดยที่ 3 และ 5 ก็คือลำดับเลขฟีโบนักชี

ความยาวของกระดูกนิ้วมือแต่ละข้อจะมีอัตราส่วนเรียงตามลำดับเลขฟีโบนักชี

หรือในกรณีการผลิใบของพืช นักชีววิทยาพบว่าการผลิใบใหม่จะทำมุม 137.5 องศากับแนวใบเดิม หากนำค่ามุม 360 องศาลบด้วย 137.5 ได้ผลลัพธ์ 222.5 และนำ 222.5 หารด้วย 137.5คำตอบที่ได้จะเท่ากับค่า Phi อย่างน่าอัศจรรย์ นักชีววิทยายังได้เผยอีกว่า มุม 137.5 องศานี้เป็นมุมที่ดีที่สุดในการรับแสงของใบไม้สำหรับการสังเคราะห์อาหาร

นอกจากนี้ลำดับเลขฟีโบนักชียังสามารถใช้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเพศผู้กับเพศเมียในสังคมผึ้ง โดยผึ้งตัวเมียจะมีจำนวนมากกว่าผึ้งตัวผู้เสมอ และหากนำจำนวนผึ้งตัวเมียหารด้วยจำนวนผึ้งตัวผู้ไม่ว่ารังใดก็ตาม ค่าที่ได้คือ 1.618

จากธรรมชาติรอบกาย สู่อวัยวะภายในของมนุษย์ ลำดับเลขฟีโบนักชีและค่า Phi ยังมีความเชื่อมโยงกับอวัยวะต่างๆ อย่างน่าพิศวง เริ่มจากอัตราการเต้นของหัวใจ ซึ่งความต่างของจังหวะยาวกับจังหวะสั้นมีค่าประมาณ 1.618 เท่า ขณะเดียวกัน ลักษณะโครงหน้าที่จิตรกรและประติมากรยอมรับกันว่าได้รูปสวยงามที่สุดมีสัดส่วนเทียบเท่ากับ 1.618 ด้วยเช่นกัน

นอกจากมนุษย์จะใช้ลำดับเลขฟีโบนักชีในการไขปริศนาของธรรมชาติแล้ว ยังได้ประยุกต์ใช้ในงานทัศนศิลป์และดุริยางคศิลป์ต่างๆ ดังปรากฏให้เห็นในประวัติศาสตร์จำนวนมาก อาทิ ภาพวาดโมนาลิซา ผลงานชิ้นเอกของเลโอนาโด ดาวินชี จิตรกรชื่อก้องโลกเจ้าของรอยยิ้มอันลึกลับมีอัตราส่วนของใบหน้าเท่ากับค่า Phi อย่างลงตัว ส่วนสถาปัตยกรรมเลื่องชื่ออย่างมหาวิหารพาร์เธนอนของกรีกและมหาพีระมิดแห่งอียิปต์ ต่างก็ใช้ค่า Phi ในการออกแบบโครงสร้างทั้งสิ้น

แม้แต่ในโลกแห่งดนตรี ค่า Phi ได้ปรากฏอยู่ในโครงสร้างการวางระบบเพลง ทั้งบทเพลงโซนาตาของโมซาร์ท ซิมโฟนีหมายเลขห้าของเบโธเฟน รวมถึงเครื่องดนตรีคลาสสิกอย่างไวโอลิน เมื่อนำความยาวของฟิงเกอร์บอร์ดมาเปรียบเทียบกับความยาวของไวโอลินจะได้ผลลัพธ์เป็นค่า Phi

แม้ไม่อาจสรุปได้ว่าความสัมพันธ์ระหว่างลำดับเลขฟีโบนักชีกับธรรมชาตินั้น เป็นความบังเอิญที่มนุษย์พยายามหาความเชื่อมโยงหรือเป็นความตั้งใจของธรรมชาติ แต่สิ่งที่แน่นอนคือลำดับเลขฟีโบนักชีและค่า Phi ได้รับการยกย่องทั้งจากวงการคณิตศาสตร์และศิลปะว่าเป็นตัวเลขที่งดงามที่สุด และเปรียบเสมือนรหัสลับที่แฝงไว้กับสรรพสิ่งทั้งหลายในธรรมชาติอย่างแนบเนียน

Fibonacci…one of the most famous number series, most of us may hear it from a famous novel and box office movie – The Da Vinci Code, which Fibonacci takes part as a mysterious plot, but in reality, the nature wonders are even more intriguing.

อ้างอิง : http://www.doesystem.com/e70e2052b44913006e20d966c802c8a9/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%9F%E0%B8%B5%E0%B9%82%E0%B8%9A%E0%B8%99%E0%B8%B1%E0%B8%8A%E0%B8%8A%E0%B8%B5(fibonacci).htm

ได้ข้อมูลที่ต้องการกันแล้วก็อย่าลืมคอมเม้นกันนะค่ะ

ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

1. ลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นการพิจารณาค่า y หรือ f(x) ของฟังก์ชันขณะที่ x เข้าใกล้จำนวนจริง จำนวนใดจำนวนหนึ่ง

การเข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่งของค่า x มี 2 กรณี

กรณีที่ 1 เข้าใกล้ทางด้านซ้าย

กรณีที่ 2 เข้าใกล้ทางด้านขวา

เช่น เมื่อ x เข้าใกล้ 0 บนเส้นจำนวน

· · · · · · · · ·

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

การเข้าใกล้ทางด้านซ้าย หมายถึง x จะเริ่มจากค่าที่น้อยกว่า 0 แล้วเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แต่ไม่ถึง 0

การเข้าใกล้ทางด้านขวา หมายถึง x จะเริ่มจากค่าที่มากกว่า 0 แล้วลดลงเรื่อยๆ แต่จะไม่ถึง 0

โดยทั่วไปแล้วในการพิจารณาว่าเมื่อ x เข้าใกล้จำนวนจริง a ใดๆ จะพิจารณาทั้งสองกรณี คือ

เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย [x < a] ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a^-

และ x เข้าใกล้ a ทางขวา [x > a] ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a⁺

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาฟังก์ชัน f(x) = 2x ขณะที่ x เข้าใกล้ 0

แบบตาราง

ด้านซ้ายของ 0

x	.....	-3	-2	-1	-0.5	-0.1	.....
y = f(x)	.....	-6	-4	-2	-1	-0.2	.....

จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย ค่าของ f(x) เพิ่มขึ้นและเข้าใกล้ 0 เรียก
” 0 ว่า ลิมิตซ้ายของ f(x) = 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย “ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ด้านขวาของ 0

x	.....	3	2	1	0.5	0.1	.....
y = f(x)	.....	6	4	2	1	0.2	.....

จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา ค่าของ f(x) ลดลงและเข้าใกล้ 0 เรียก

“0 ว่า ลิมิตขวาของ f(x) = 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

จะเห็นว่าค่าของ f(x) เข้าใกล้ 0 ขณะที่ x เข้าใกล้ 0 ที่ทางด้านซ้ายและด้านขวา ดังนั้นกล่าวว่า
“ ฟังก์ชัน f(x) = 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีลิมิตเท่ากับ 0 “ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หรือ

แบบกราฟ

y f(x) = 2x

                                                                                 6
                                                                                 4
                                                                                 2

                                                                                    -2
                                                                                    -4

-6

กรณีทางซ้ายของ 0 : จะเห็นว่าขณะที่ x เพิ่มขึ้นจนเข้าใกล้ 0 ค่าของ f(x) ก็เพิ่มขึ้นเข้าใกล้ 0

กรณีทางขวาของ 0 : จะเห็นว่าขณะที่ x น้อยลงจนเข้าใกล้ 0 ค่าของ f(x) ก็จะลดลงจนเข้าใกล้ 0

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาฟังก์ชัน f(x) = x+3 ขณะ x เข้าใกล้ 2

แบบตาราง

ด้านซ้ายของ 2

x	.....	1	1.5	1.75	1.85	1.9999	.....
y	.....	4	4.5	4.75	4.85	4.9999	.....

จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านซ้ายค่าของ f(x) เพิ่มขึ้นและเข้าใกล้ 5 เรียก

“5 ว่า ลิมิตซ้ายของ f(x) = x+3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านซ้าย “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ด้านขวาของ 2

x	.....	3	2.5	2.25	2.15	2.0001	.....
y	.....	6	5.5	5.25	5.15	5.0001	.....

จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา ค่าของ f(x) ลดลงและเข้าใกล้ 5 เรียก

“5 ว่า ลิมิตขวาของ f(x) = x+3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

จะเห็นว่าค่าของ f(x) เข้าใกล้ 5 ขณะที่ x เข้าใกล้ 2 ที่ทางด้านซ้ายและด้านขวา ดังนั้นกล่าวว่า
“ฟังก์ชัน f(x) = x+3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 มีลิมิตเท่ากับ 5 “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หรือ

แบบกราฟ y

8 f(x) = x+3

                                                                                 6
                                                                                 4
                                                                                 2

                                                                               -2
                                                                               -4

-6

กรณีทางซ้ายของ 2 : จะเห็นว่าขณะที่ x เพิ่มขึ้นจนเข้าใกล้ 2 ค่าของ f(x) ก็เพิ่มขึ้นเข้าใกล้ 5

กรณีทางขวาของ 2 : จะเห็นว่าขณะที่ x น้อยลงจนเข้าใกล้ 2 ค่าของ f(x) ก็จะลดลงจนเข้าใกล้ 5

สำหรับฟังก์ชัน f ใดๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริง