ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
1. ลิมิตของฟังก์ชัน
ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นการพิจารณาค่า y หรือ f(x) ของฟังก์ชันขณะที่ x เข้าใกล้จำนวนจริง จำนวนใดจำนวนหนึ่ง
การเข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่งของค่า x มี 2 กรณี
กรณีที่ 1 เข้าใกล้ทางด้านซ้าย
กรณีที่ 2 เข้าใกล้ทางด้านขวา
เช่น เมื่อ x เข้าใกล้ 0 บนเส้นจำนวน
 |
· · · · · · · · ·
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
การเข้าใกล้ทางด้านซ้าย หมายถึง x จะเริ่มจากค่าที่น้อยกว่า 0 แล้วเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แต่ไม่ถึง 0
การเข้าใกล้ทางด้านขวา หมายถึง x จะเริ่มจากค่าที่มากกว่า 0 แล้วลดลงเรื่อยๆ แต่จะไม่ถึง 0
โดยทั่วไปแล้วในการพิจารณาว่าเมื่อ x เข้าใกล้จำนวนจริง a ใดๆ จะพิจารณาทั้งสองกรณี คือ
เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย [x < a] ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a-
และ x เข้าใกล้ a ทางขวา [x > a] ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x a+
ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาฟังก์ชัน f(x) = 2x ขณะที่ x เข้าใกล้ 0
แบบตาราง
ด้านซ้ายของ 0
x
|
.....
|
-3
|
-2
|
-1
|
-0.5
|
-0.1
|
.....
|
y = f(x)
|
.....
|
-6
|
-4
|
-2
|
-1
|
-0.2
|
.....
|
จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย ค่าของ f(x) เพิ่มขึ้นและเข้าใกล้ 0 เรียก
” 0 ว่า ลิมิตซ้ายของ f(x) = 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย “ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
” 0 ว่า ลิมิตซ้ายของ f(x) = 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย “ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
ด้านขวาของ 0
x
|
.....
|
3
|
2
|
1
|
0.5
|
0.1
|
.....
|
y = f(x)
|
.....
|
6
|
4
|
2
|
1
|
0.2
|
.....
|
จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา ค่าของ f(x) ลดลงและเข้าใกล้ 0 เรียก
“0 ว่า ลิมิตขวาของ f(x) = 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 
จะเห็นว่าค่าของ f(x) เข้าใกล้ 0 ขณะที่ x เข้าใกล้ 0 ที่ทางด้านซ้ายและด้านขวา ดังนั้นกล่าวว่า
“ ฟังก์ชัน f(x) = 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีลิมิตเท่ากับ 0 “ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
หรือ 
“ ฟังก์ชัน f(x) = 2x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีลิมิตเท่ากับ 0 “ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
หรือ
แบบกราฟ
y f(x) = 2x
6
4
2
-2
-4
4
2
-2
-4
-6
กรณีทางซ้ายของ 0 : จะเห็นว่าขณะที่ x เพิ่มขึ้นจนเข้าใกล้ 0 ค่าของ f(x) ก็เพิ่มขึ้นเข้าใกล้ 0
กรณีทางขวาของ 0 : จะเห็นว่าขณะที่ x น้อยลงจนเข้าใกล้ 0 ค่าของ f(x) ก็จะลดลงจนเข้าใกล้ 0
ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาฟังก์ชัน f(x) = x+3 ขณะ x เข้าใกล้ 2
แบบตาราง
ด้านซ้ายของ 2
x
|
.....
|
1
|
1.5
|
1.75
|
1.85
|
1.9999
|
.....
|
y
|
.....
|
4
|
4.5
|
4.75
|
4.85
|
4.9999
|
.....
|
จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านซ้ายค่าของ f(x) เพิ่มขึ้นและเข้าใกล้ 5 เรียก
“5 ว่า ลิมิตซ้ายของ f(x) = x+3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านซ้าย “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 
ด้านขวาของ 2
x
|
.....
|
3
|
2.5
|
2.25
|
2.15
|
2.0001
|
.....
|
y
|
.....
|
6
|
5.5
|
5.25
|
5.15
|
5.0001
|
.....
|
จะเห็นว่าขณะที่ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา ค่าของ f(x) ลดลงและเข้าใกล้ 5 เรียก
“5 ว่า ลิมิตขวาของ f(x) = x+3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 
จะเห็นว่าค่าของ f(x) เข้าใกล้ 5 ขณะที่ x เข้าใกล้ 2 ที่ทางด้านซ้ายและด้านขวา ดังนั้นกล่าวว่า
“ฟังก์ชัน f(x) = x+3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 มีลิมิตเท่ากับ 5 “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
หรือ 
“ฟังก์ชัน f(x) = x+3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 มีลิมิตเท่ากับ 5 “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
หรือ 
แบบกราฟ y
8 f(x) = x+3
6
4
2
-2
-4
4
2
-2
-4
-6
กรณีทางซ้ายของ 2 : จะเห็นว่าขณะที่ x เพิ่มขึ้นจนเข้าใกล้ 2 ค่าของ f(x) ก็เพิ่มขึ้นเข้าใกล้ 5
กรณีทางขวาของ 2 : จะเห็นว่าขณะที่ x น้อยลงจนเข้าใกล้ 2 ค่าของ f(x) ก็จะลดลงจนเข้าใกล้ 5
สำหรับฟังก์ชัน f ใดๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริง
ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้ จำนวนจริง L1 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย เรียก “L1 ว่า ลิมิตซ้ายของ f ที่ a “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f(x) = L1 
ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้จำนวนจริง L2 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางด้านขวา เรียก “L2 ว่าลิมิตขวาของ f ที่ a “เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f(x) = L2 
ถ้า L1 = L2 = L จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีลิมิตเป็น L ที่ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f(x) = L
แต่ถ้า L1 L2 จะกล่าวว่าฟังก์ชัน f ไม่มีลิมิตที่ a
ข้อสังเกต สำหรับบางฟังก์ชันอาจพบว่าหาค่าของฟังก์ชันเมื่อ x = a ไม่ได้ แต่หาลิมิตของฟังก์ชันได้
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ 
จงหา 1. 
2. 
3. 
2. 3.
วิธีทำ เขียนกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ได้ดังนี้
Y
5- y = x2
4-
3-
2-
y = x+2 1-
-2 -1 0 1 2 3 4 5 X
จากกราฟ 1. เมื่อ x 2 จะได้ 
2. เมื่อ x < 2 จะได้ 
3. เนื่องจาก 
ดังนั้น 
ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาว่า 
มีลิมิตที่ 0 หรือไม่
มีลิมิตที่ 0 หรือไม่
วิธีทำ จาก 
ถ้า x > 0 จะได้ 
= 1
= 1
ถ้า x < 0 
= -1
= -1
นั้นคือ 
และ 
และ
เนื่องจาก 
ดังนั้น ไม่มีลิมิตที่ 0
ไม่มีลิมิตที่ 0
ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ f(x) = | x2- 4 | จงหา
1. 2.
2.
วิธีทำ จาก f(x) = | x2- 4 |
จะได้ f(x) = x2- 4 เมื่อ x 2 หรือ x -2
f(x) = 4 – x2 เมื่อ -2 < x < 2
เขียนกราฟของฟังก์ชันได้ดังนี้
Y
4-
3- f(x)
2-
1-
-3 -2 -1 0 1 2 3 X
จากกราฟจะได้ 1. 
2. 
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น